如图，以△ABC的三边为边长在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是什么四边形？试说明理由．（2）当△ABC满足条件时，四边形ADEF是矩形；当△ABC满足条

Question

如图，以△ABC的三边为边长在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是什么四边形？试说明理由．
（2）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF是矩形；当△ABC满足条件______时，四边形ADEF是菱形；当△ABC满足条件______时，四边形ADEF是正方形；当△ABC满足条件______时，四边形ADEF不存在．选择其中一个试说明理由．

Answer 1

（1）是平行四边形，
理由是：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中

BC＝CE

∠BCA＝∠ECF

AC＝CF

，
∴△BCA≌△ECF，
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠FAC=360°-60°-60°-150°=90°，
四边形ADEF是平行四边形，
∴平行四边形ADEF是矩形；

当AB=AC时，四边形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴平行四边形ADEF是菱形；
当AB=AC，∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形，
理由是：∵四边形ADEF是平行四边形，
已证：AD=AF，∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是正方形，
当∠BAC是60°时，四边形ADEF不存在，
理由是：此时D、A、F三点共线，
故答案为：∠BAC=150°，AB=AC，AB=AC，∠BAC=150°，∠BAC=60°．

BC＝CE

∠BCA＝∠ECF

AC＝CF

BC＝CE

∠BCA＝∠ECF

AC＝CF

BC＝CE

∠BCA＝∠ECF

AC＝CF

BC＝CE

∠BCA＝∠ECF

AC＝CF

BC＝CEBC＝CEBC＝CE∠BCA＝∠ECF∠BCA＝∠ECF∠BCA＝∠ECFAC＝CFAC＝CFAC＝CF，
∴△BCA≌△ECF，
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠FAC=360°-60°-60°-150°=90°，
四边形ADEF是平行四边形，
∴平行四边形ADEF是矩形；

当AB=AC时，四边形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴平行四边形ADEF是菱形；
当AB=AC，∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形，
理由是：∵四边形ADEF是平行四边形，
已证：AD=AF，∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是正方形，
当∠BAC是60°时，四边形ADEF不存在，
理由是：此时D、A、F三点共线，
故答案为：∠BAC=150°，AB=AC，AB=AC，∠BAC=150°，∠BAC=60°．