如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Question

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析（2）菱形，理由见解析

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证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵ ，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，
理由如下：连接AN，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AB中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，
∴MQ= BM，
∴MP= BM，
∴MP=MQ，
∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵ ，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，
理由如下：连接AN，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AB中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，
∴MQ= BM，
∴MP= BM，
∴MP=MQ，
∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵ ，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，
理由如下：连接AN，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AB中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，
∴MQ= BM，
∴MP= BM，
∴MP=MQ，
∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵ ，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，
理由如下：连接AN，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AB中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，
∴MQ= BM，
∴MP= BM，
∴MP=MQ，
∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵ ，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，
理由如下：连接AN，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AB中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，
∴MQ= BM，
∴MP= BM，
∴MP=MQ，
∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB≌△NDC，
∵ ，
∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，
理由如下：连接AN，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AB中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，
∴MQ= BM，
∴MP= BM，
∴MP=MQ，
∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．