函数的基本特征具备怎样的基本特征就可以称之为函数?

Question

函数的基本特征
具备怎样的基本特征就可以称之为函数?

Answer 1

函数
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢）.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.
术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思.
历史
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,以描述曲线的一个相关量,如曲线的斜率或者曲线上的某一点.莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类.对于可导函数可以讨论它的极限和导数.此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础.
1718年,约翰·贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量.”1748年,约翰·贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何一种方式构成的解析表达式”.例如f(x) = sin(x) + x3.1775年,欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量,即当后者变化时,前者本身也发生变化,则称前一些量是后一些量的函数.”
19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理.维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术,而不是几何的基础上,因而更趋向于欧拉的定义.
通过扩展函数的定义,数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究,例如不可导的连续函数.这些函数曾经被认为只具有理论价值,迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”.稍后,人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用.
到19世纪末,数学家开始尝试利用集合论来规范数学.他们试图将每一类数学对象定义为一个集合.狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义.狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例.然而对于实际应用的情况,现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计.
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h,k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,
可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ].
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
Δ= b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax²+bx+c=0
此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
一次函数
I、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k,b为常数,k≠0）
则称y是x的一次函数.
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数.
II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即 △y/△x=k
III、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线,可以作出一次函数的图象——一条直线.因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可.
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b.
3． k,b与函数图象所在象限.
当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；
当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小.
当b＞0时,直线必通过一、二象限；当b＜0时,直线必通过三、四象限.
特别地,当b=O时,直线通过原点O（0,0）表示的是正比例函数的图象.
这时,当k＞0时,直线只通过一、三象限；当k＜0时,直线只通过二、四象限.
IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1,y1）；B（x2,y2）,请确定过点A、B的一次函数的表达式.
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②.
（3）解这个二元一次方程,得到k,b的值.
（4）最后得到一次函数的表达式.
V、一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数.s=vt.
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数.设水池中原有水量S.g=S-ft.
反比例函数
形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数.
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
反比例函数的图像为双曲线.
如图,上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.
三角函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.
三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.
它有六种基本函数：
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数 sin（A）=a/h
余弦函数 cos（A）=b/h
正切函数 tan（A）=a/b
余切函数 cot（A）=b/a