函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2|x−1|−1，0＜x≤212f(x−2)，x＞2，则g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上所有零点之和为．

Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=

2|x−1|−1，0＜x≤2

(1)/(2)f(x−2)，x＞2

，则g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上所有零点之和为______．

Answer 1

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
又∵函数g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1，故有f（x）=

2−x  ，0＜x≤1

2x−2  ，1＜x≤2

(1)/(2)f(x−2) ，x＞2

．
∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[(1)/(2)，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1．
又∵当x＞2时，f（x）=(1)/(2)f（x-2），
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[(1)/(4)，(1)/(2)]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[(1)/(8)，(1)/(4)]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[(1)/(16)，(1)/(8)]，当且仅当x=8时，f（x）=(1)/(8)，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[(1)/(32)，(1)/(16)]，当且仅当x=10时，f（x）=(1)/(16)，
故f（x）＜(1)/(x)在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点，
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点，
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点．
综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8．