定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{-2.5}=-2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则1a1+1a2+…+1an=2nn+12nn+1．

Question

定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{-2.5}=-2．当x∈（0，n]，n∈N^*时，函数f（x）的值域为A_n，记集合A_n中元素的个数为a_n，则(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an)=

(2n)/(n+1)

(2n)/(n+1)

．

Answer 1

由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A₁={1}，a₁=1；
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A₂={1，3，4}，a₂=3；
当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以A₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，
所以A₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此类推：a_n=a_n-1+n，所以a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1个式子相加得，a_n-a₁=((n−1)(n+2))/(2)，
解得an＝(n(n+1))/(2)，所以(1)/(an)＝(2)/(n(n+1))＝2((1)/(n)−(1)/(n+1))，
则(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an)＝2[(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))]＝(2n)/(n+1)，
故答案为：(2n)/(n+1)．