设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，（x∈R），下列四个命题中真命题的序号是．（1）f（x）是偶函数；（2）不等式f（x）＜2013×2014的解集为∅；（3）f（x）

Question

设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，（x∈R），下列四个命题中真命题的序号是______．
（1）f（x）是偶函数；              
（2）不等式f（x）＜2013×2014的解集为∅；
（3）f（x）在（0，+∞）上是增函数；   
（4）方程f（a²-5a+6）=f（a-2）有无数个实根．

Answer 1

解析：∵f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2014|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2014|
=|1-x|+|2-x|+…+|2014-x|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|=f（x），
∴f（x）为偶函数，故（1）正确．
根据绝对值的几何意义可得f（x）=（|x+1|+|x-1|）+（|x+2|+|x-2|）+（|x+3|+|x-3|）+…+（|x+2014|+|x-2014|）
≥2+4+6+…+4028=(2014(2+4028))/(2)=2014×2015，当且仅当-1≤x≤1时，取等号．
∴不等式f（x）＜2013×2014的解集为∅，故（2）正确．
由于f（(1)/(2)）=f（1），显然函数f（x）在（0，+∞）上不是增函数，故（3）不正确．
由于f（a²-5a+6）=f（a-2），且函数f（x）为偶函数，∴a²-5a+6=a-2，或 a²-5a+6=-（a-2），或

−1≤a2−5a+1≤1

−1≤a−2≤1

．
解得a=2，或 a=4，或 (5−√(5))/(2)≤a≤3，故方程f（a²-5a+6）=f（a-2）有无数个实根，故（4）正确．
故答案为：（1）、（2）、（4）．