函数f（x）=axn（1-x）2在区间（0，1）上的图象如图所示，则n可能是（）A.1B.2C.3D.4

Question

函数f（x）=axⁿ（1-x）²在区间（0，1）上的图象如图所示，则n可能是（　　）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer 1

由于本题是选择题，可以用代入法来作，
由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．
当n=1时，f（x）=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f′（x）=a（3x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=(1)/(3)，x=1，即函数在x=(1)/(3)处有最值，故A正确；
当n=2时，f（x）=ax²（1-x）²=a（x⁴-2x³+x²），有f′（x）=a（4x³-6x²+2x）=2ax（2x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=0，x=(1)/(2)，x=1，即函数在x=(1)/(2)处有最值，故B错误；
当n=3时，f（x）=ax³（1-x）²，有f′（x）=ax²（x-1）（5x-3），令f′（x）=0，⇒x=0，x=1，x=(3)/(5)，即函数在x=(3)/(5)处有最值，故C错误．
当n=4时，f（x）=ax⁴（1-x）²，有f′（x）=2x³（3x-2）（x-1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=(2)/(3)，即函数在x=(2)/(3)处有最值，故D错误．
故选：A．