设函数f（x）=clnx+12x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Question

设函数f（x）=clnx+(1)/(2)x²+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

f′(x)＝(c)/(x)+x+b＝(x2+bx+c)/(x)，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f'（1）=0，
∴f′(x)＝((x−1)(x−c))/(x)且c≠1，b+c+1=0．
（I）若x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当1＜x＜c时，f'（x）＜0；
当x＞c时，f'（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即(1)/(2)+b＜0，∴−(1)/(2)＜c＜0；
②若0＜c＜1，则f极大(x)＝f(c)＝clnc+(1)/(2)c2b+c，
f 极小(x)＝f(1)＝(1)/(2)+b，
∵b=-1-c，
则f极大(x)＝clnc+(1)/(2)c2+c(−1−c)=clnc-c-(1)/(2)c2＜0，
f 极小(x)＝−(1)/(2)−c，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则f极小(x)＝clnc+(1)/(2)c2+c(−1−c)=clnc-c-(1)/(2)c2＜0，
f极大(x)＝−(1)/(2)−c，则f（x）=0只有一解．
综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为：−(1)/(2)＜c＜0．