设函数y=y（x）由方程xef（y）=ey确定，其中f具有二阶导数，且f′≠1，求d2ydx2．

Question

设函数y=y（x）由方程xe^f（y）=e^y确定，其中f具有二阶导数，且f′≠1，求(d2y)/(dx2)．

Answer 1

∵xe^f（y）=e^y
∴两边去自然对数得：lnx+f（y）=y
对x求导得
(1)/(x)+f′(y)y′＝y′
∴y′＝(1)/(x[1−f′(y)])
∴y″＝−(1)/(x2[1−f′(y)]2)•[1−f′(y)−xf″(y)y′]
将y'代入得
y″＝−((1−f′(y))2−f″(y))/(x2[1−f′(y)]3)