设函数y=f（x）由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f（x）的极值．

Question

设函数y=f（x）由方程y³+xy²+x²y+6=0确定，求f（x）的极值．

Answer 1

在方程两边同时对x求导一次，得到（3y²+2xy+x²）y'+（y²+2xy）=0，（1）
即(dy)/(dx)＝(−y2−2xy)/(3y2+2xy+x2)
令(dy)/(dx)＝0及y³+xy²+x²y+6=0，得到函数唯一驻点x=1，y=-2．
在（1）式两边同时对x求导一次，得到
（（6yy'+4y+2xy'+4x）y'+（3y²+2xy+x²）y''+2y=0
把x=1，y=-2，y'（1）=0代入，得到y″(1)＝(4)/(9)＞0，
故函数在x=1处取得极小值y=-2．