（2014•云南一模）已知函数f（x）=ex（x3+mx2-2x+2）．（Ⅰ）假设m=-2，求f（x）的极大值与极小值；（Ⅱ）是否存在实数m，使f（x）在[-2，-1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存

Question

（2014•云南一模）已知函数f（x）=e^x（x³+mx²-2x+2）．
（Ⅰ）假设m=-2，求f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使f（x）在[-2，-1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=e^x（x³-2x²-2x+2）；
∴f′（x）=xe^x（x-2）（x+3）；
∴x∈（-∞，-3）时，f′（x）＜0；x∈（-3，0）时，f′（x）＞0，∴x=-3时，f（x）取到极小值f（-3）=-27e^-3；
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，∴x=0时，f（x）取到极大值f（0）=2；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴x=2时，f（x）取到极小值f（2）=-2e²．
（Ⅱ）f′（x）=xe^x[x²+（m+3）x+2m-2]；
∴要使f（x）在[-2，-1]上单调递增，则：f′（x）＞0，∵xe^x＜0；
只要x²+（m+3）x+2m-2＜0；
∴

(−2)2−2(m+3)+2m−2≤0

(−1)2−(m+3)+2m−2≤0

；
解得m≤4，∴m的取值范围是（-∞，4]．