（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿

Question

（ 20 分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿 1 、 2 、 3 、 4 支撑于桌角 A 、 B 、 C 、 D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F ，令 ，求桌面对桌腿 1 的压力 F ₁ 。

   

Answer 1

解析 ：

设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为 、 、 、 ．因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得

．                              ( 1 )

由于对称性，

．           ( 2 )

考察对桌面对角线 BD 的力矩，由力矩平衡条件可得

．      ( 3 )

根据题意， ， c =0 对应于力 F 的作用点在 O 点， c =1 对应于 F 作用点在 A 点 。

设桌腿的劲度系数为 在力 F 的作用下，腿 1 的形变为 ，腿 2 和 4 的形变均为 ，腿 3 的形变为 ．依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足 即

．    ( 4 )

由 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 式，可得

，    ( 5 )

，    ( 6 )

当 时， . ，表示腿 3 无形变； ， 表示腿 3 受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视 ．此时 (2) 式 (3) 式仍成立．由 (3) 式，可得

．                                                        (7)

综合以上讨论得

       .                      (8)

  ，          .                      (9)

评分标准： 本题 20 分。

    (1) 式 1 分， (2) 式 1 分， (3) 式 2 分， (4) 式 7 分，得到由 (8) 式表示的结果得 4 分，得到由 (9) 式表示的结果得 5 分 。