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点P为双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1,F2为焦点,证明/PF1/*/PF2/=/OP/^2
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点P为双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1,F2为焦点,证明/PF1/*/PF2/=/OP/^2
▼优质解答
答案和解析
设P(x,y)双曲线右支上一点,离心率e=√2; c=√2
则有焦半径公式得：|PF1|=√2x+1;|PF2|=√2x-1;
所以/PF1/*/PF2/=(√2x+1)（√2x-1）=2x^2-1;
P(x,y)在双曲线x^2-y^2=1上；所以y^2=x^2-1
所以/OP/^2=x^2+y^2=x^2+(x^2-1)=2x^2-1
所以/PF1/*/PF2/=/OP/^2恒成立
则有焦半径公式得：|PF1|=√2x+1;|PF2|=√2x-1;
所以/PF1/*/PF2/=(√2x+1)（√2x-1）=2x^2-1;
P(x,y)在双曲线x^2-y^2=1上；所以y^2=x^2-1
所以/OP/^2=x^2+y^2=x^2+(x^2-1)=2x^2-1
所以/PF1/*/PF2/=/OP/^2恒成立
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