判断椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，以焦点弦PQ为直径的圆与对应准线的位置关系，并证明．

Question

判断椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）中，以焦点弦PQ为直径的圆与对应准线的位置关系，并证明．

Answer 1

以焦点弦PQ为直径的圆与对应准线的位置关系为：相离，下面证明，
不妨设右准线为l，PQ为过右焦点的弦，P、Q在l上的射影分别为C、D
连接PC、QD，设PQ的中点为M，作MN⊥l于N，
根据圆锥曲线的统一定义，可得(|PF|)/(|PC|)=(|QF|)/(|QD|)=e，可得(|PF|+|QF|)/(|PC|+|QD|)=e＜1
∴|PF|+|QF|＜|PC|+|QD|，即|PQ|＜|PC|+|QD|，
∵以PQ为直径的圆半径为r=(1)/(2)|PQ|，|MN|=(1)/(2)（|PC|+|QD|）
∴圆心M到l的距离|MN|＞r，∴直线l与以PQ为直径的圆相离