F(X-1)和F(x+1)是奇函数F(x)是什么函数,怎么证明

Question

F(X-1)和F(x+1)是奇函数F(x)是什么函数,怎么证明

Answer 1

周期函数 周期为4
因为F(x-1)是奇函数
由 奇函数关于原点对称 和 《附》中第0条,得到F(x)关于点 （1,0）对称
同理 F(x)关于点（-1,0）对称
由《附》中第14条结论,得到 F(x)是周期为4的周期函数.
附：
关于函数的周期性和对称性的几条结论：
0.f(x+t)可由f(x)向左平移t个单位得到（t为负表示向右平移）
1.若 f(x+T)=f(x),则f(x)是以 T 为周期的函数 (可逆推)
2.若 f(x+a)=f(x+b),则f(x)是以 |a-b|为周期的函数 (可逆推)
3.若 f(x+t)=-f(x),则f(x)是以 2t 为周期的函数
4.若 f(x+t)=1/f(x),则f(x)是以 2t 为周期的函数
5.若 f(x+t)=-1/f(x),则f(x)是以 2t 为周期的函数
6.若 f(t+x)=f(t-x),则f(x)图像的对称轴为 直线x=t 且f(x+t)为偶函数 (可逆推)
7.若 f(2t-x)=f(x),则f(x)图像的对称轴为 直线x=t (可逆推)
8.若 f(x+a)=f(b-x),则f(x)图像的对称轴为 直线x=(a+b)/2 (可逆推)
9.若 f(t+x)=-f(t-x),则f(x)图像的对称中心为 点(t,0) (可逆推)
10.若 f(2t-x)=-f(x),则f(x)图像的对称中心为 点(t,0) (可逆推)
11.若 f(x+a)=-f(b-x),则f(x)图像的对称中心为 点((a+b)/2,0) (可逆推)
12.若 T为f(x)周期,则 nT 也为f(x)周期（n为整数,n可以为负数）
13.若 f(x)有两个对称轴:x=a与x=b,则f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
14.若 f(x)有两个对称中心:(a,m)与(b,m),则f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
15.若 f(x)有一个对称轴:x=a 和一个对称中心:(b,m),则f(x)是以 4|a-b| 为周期的函数
证明：
1.定义,不用证.
2.f(x+a)=f(x+b) 用 x-a 代换x 得
f[(x-a)+a]=f[(x-a)+b] 即f(x)=f(x+b-a) 所以f(x)周期为b-a,我们习惯上取周期为正
,故加绝对值,所以是 |a-b|
3.f(x+t)=-f(x) 用 x+t 代换x 得
f[(x+t)+t]=-f(x+t)=f(x) 即 f(x+2t)=f(x) ,即 f(x)是以 2t 为周期的函数
4.略.仿照3
5.略.仿照3
6.不用证.这是一个等价条件,即 f(t+x)=f(t-x) (这三个符号是一起的,意思是等价
于) f(x)图像的对称轴为 直线 x=t
可以想象：t+x即在t的右边距离为x、t-x即在t的左边距离为x,也就是说在t左右两边距t
相等的位置（t+x和t-x）
的函数值f(t+x)和f(t-x)也相等 显然函数图像关于x=t是对称的
7.f(2t-x)=f(x) 用 x+t 代换x 得
f[2t-(x+t)]=f(x+t) 即f(t-x)=f(t+x) 由6得 f(x)图像的对称轴为 直线x=t
8.f(x+a)=f(b-x) 用 x-a 代换x 得
f[(x-a)+a]=f[b-(x-a)] 即f(x)=f(b+a-x) 由7得 f(x)图像的对称轴为 直线x=(a+b)/2
9.不用证.仿照6
10.略.仿照7
11.略.仿照8
12.不用证.
13.f(x)有两个对称轴:x=a与x=b.由7得 f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)
所以f(2a-x)=f(2b-x) 用 -x 代换 x 得
f(2a+x)=f(2b+x) 由2得 f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
14.令g(x)=f(x)-m ,显然 f(x)与g(x)的对称性和周期性都相同,故 g(x)有两个对称中心:
(a,0)与(b,0).
仿照13的方法 可以得到 g(x)是以 2|a-b| 为周期的函数,故 f(x)是以 2|a-b| 为周
期的函数.
15.略.仿照14