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(2014•盐城二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>1时,f(x+1)=f(x)+f(1),且若直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k的值为22-222-2
题目详情
(2014•盐城二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>1时,f(x+1)=f(x)+f(1),且若直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k的值为
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▼优质解答
答案和解析
当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>1时,f(x+1)=f(x)+f(1),
当1≤x≤2时,f(x)=f(x-1)+f(1)=(x-1)2+1,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,
∴x>0时,两个函数的图象,只有2个交点,如图:
设切点为(a,f(a)).
f′(x)=2x-2.
则:
=2a−2,解得a=
.
∴k=2
−2.
此时有两个交点,x<0时,也有两个交点,x=0也是交点,
∴k=2
−2时有5个交点.
故答案为:2
-2
当1≤x≤2时,f(x)=f(x-1)+f(1)=(x-1)2+1,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,
∴x>0时,两个函数的图象,只有2个交点,如图:
设切点为(a,f(a)).
f′(x)=2x-2.
则:
a2−2a+2 |
a |
2 |
∴k=2
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此时有两个交点,x<0时,也有两个交点,x=0也是交点,
∴k=2
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故答案为:2
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