若f(x-1)为奇函数,f(x+3)为偶函数,则f(x)是什么函数,有图例说明吗?

Question

若f(x-1)为奇函数,f(x+3)为偶函数,则f(x)是什么函数,有图例说明吗?

Answer 1

若f(x-1)为奇函数,f(x+3)为偶函数,则f(x)是什么函数,有图例说明吗?
方法1：
解析：∵f(x-1)为奇函数,f(x+3)为偶函数
∴f(-x-1)=-f(x-1)==>令x=x-1代入得f(-x)=-f(x-2)
f(-x+3)=f(x+3)==>令x=x+3代入得f(-x)=f(x+6)
∴-f(x-2)=f(x+6)
令x=x+2代入得-f(x)=f(x+8)
令x=x+8代入得-f(x+8)=f(x+16)
∴f(x)=f(x+16)
∴f(x)是以16为最小正周期的周期函数.

方法2：
∵f(x-1)为奇函数,∴f(x)关于点(-1,0)中心对称；
f(x+3)为偶函数,∴f(x)关于直线x=3左右对称；
∵若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b）,则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期
∴T=4|-1-3|=16
∴f(x)是以16为最小正周期的周期函数.

至于图像设f(x)=sin(π/8*x+π/8),T=16
右移1个单位为奇函数；左移3个单位为偶函数.我不再画了.