数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休是诗吗

Question

数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休 是诗吗

Answer 1

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔离分家万事休”．数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透．
数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案． 例如：求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整数． 对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n的奇偶性进行讨论． 如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值,
方案如下：如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,…,n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形．此时,组成平行四边形的小圆圈共有n行,每行有（n+1）个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为,即1+2+3+4+…+n=．
（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求1+3+5+7+…+（2n﹣1）的值,其中n是正整数．（要求：画出图形,并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形,求1+3+5+7+…+（2n﹣1）的值,其中n是正整数．（要求：画出图形,并利用图形做必要的推理说明