老师,在我们的五年级数学课本中有这么一个知识链接,是这样的：什么是“数字黑洞”?数字黑洞是指自然数经过某种运算之后陷入了一种循环的境况.例如,任意选四个不同的数字,组成一个最

Question

老师,在我们的五年级数学课本中有这么一个知识链接,是这样的：
什么是“数字黑洞”?
数字黑洞是指自然数经过某种运算之后陷入了一种循环的境况.例如,任意选四个不同的数字,组成一个最大的数和一个最小的数,用大数减去小数.用所得的四位数重复上述过程,最多七步,必得6174.即：7641—1467=6174.仿佛掉进了黑洞,永远出不来.
我试验了一下,用0531这四个数字算了算,得出结果后,我把运算的过程数了一数,却不止七步,这是为什么?请老师看一看我的运算过程,有没有出错.
我的运算过程：
5310—1035=4275
7542—2457=5085
8550—5058=3492
9432—2349=7083
8730—3078=5652
6552—2556=3996
9963—3699=6264
6642—2466=4176
7641—1467=6176

Answer 1

四位数黑洞6174
把一个四位数的四个数字由小至大排列,组成一个新数,又由大至小排列排列组成一个新数,这两个数相减,之后重复这个步骤,只要四位数的四个数字不重复,数字最终便会变成 6174.
例如 3109,9310 - 0139 = 9171,9711 - 1179 = 8532,8532 - 2358 = 6174.而 6174 这个数也会变成 6174,7641 - 1467 = 6174.
任取一个四位数,只要四个数字不全相同,按数字递减顺序排列,构成最大数作为被减数；按数字递增顺序排列,构成最小数作为减数,其差就会得6174；如不是6174,则按上述方法再作减法,至多不过10步就必然得到6174.
如取四位数5679,按以上方法作运算如下：
9765-5679=4086 8640-4068=4572 7542-2457=5085
8550-5058=3492 9432-2349=7083 8730-3078=5652
6552-2556=3996 9963-3699=6264 6642-2466=4176
7641-1467=6174
那么,出现6174的结果究竟有什么科学依据呢?
设M是一个四位数而且四个数字不全相同,把M的数字按递减的次序排列,
记作M（减）；
然后再把M中的数字按递增次序排列,记作M增,记差M（减）-M（增）=D1,从M到D1是经过上述步骤得来的,我们把它看作一种变换,从M变换到D1记作：T(M)= D1把D1视作M一样,按上述法则做减法得到D2 ,也可看作是一种变换,把D1变换成D2,
记作：T(D1)= D2
同样D2可以变换为D3；D3变换为D4……,既T(D2)= D3,T(D3)= D4……
现在我们要证明,至多是重复7次变换就得D7=6174.
证明
证：四位数总共有9999-999=9000个,其中除去四个数字全相同的,余下9000-10=8990个数字不全相同．我们首先证明,变换T把这8990个数只变换成54个不同的四位数．
设a、b、c、d是M的数字,并：
a≥b≥c≥d
因为它们不全相等,上式中的等号不能同时成立．我们计算T(M)
M（减）=1000a+100b+10c+d
M（增）=1000d+100c+10b+a
T(M)= D1= M（减）-M（增）=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c)
我们注意到T(M）仅依赖于（a-d）与（b－c）,因为数字a,b,c,d不全相等,因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d>0而b-c≥0．
此外b、c在a与d之间,所以a-d≥b-c,这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值,并且如果它取这个集合的某个值n,b-c只能取小于n的值,至多取n．
例如,若a-d=1,则b-c只能在0与1中选到,在这种情况下,T(M）只能取值：
999×⑴+90×（0)=0999
999×⑴+90×⑴=1089
类似地,若a-d=2,T(M）只能取对应于b-c=0,1,2的三个值．把a-d=1,a-d=2,…,a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来,我们就得到2+3+4+…+10=54
这就是T(M）所可能取的值的个数．在54个可能值中,又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值,这些数值再变换T(M）中都对应相同的值（数学上称这两个数等价）,剔除等价的因数,在T(M）的54个可能值中,只有30个是不等价的,它们是：
9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550,
8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544．
对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数．证毕．