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如图,已知等边三角形△AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外).连接EB,过E作EF⊥AB,交AB的延长线为F.(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系,并证明你的猜想.(2)
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754261-8770.jpg)
(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系,并证明你的猜想.
(2)证明:△BEF∽△ABC,并求出相似比.
▼优质解答
答案和解析
(1)猜测BE和直线AC垂直.
证明:∵△AEC是等边三角形,
∴AE=CE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,
∵BE=BE,
∴△AEB≌△CEB(SSS).
∴∠AEB=∠CEB,
∵AE=CE,
∴BE⊥AC;
(2)∵△AEC是等边三角形,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754261-1631.jpg)
∴∠EAC=∠AEC=60°,
∵BE⊥AC,
∴∠BEA=
∠AEC=30°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=45°,
∴∠BAE=15°,
∴∠EBF=45°,
∵EF⊥BF,
∴∠F=90°,
∴∠EBF=∠BAC,∠F=∠ABC,
∴△BEF∽△ACB,
延长EB交AC于G,设AC为2a,则BG=a,EB=
a-a,
∴相似比是:
=
=
=
证明:∵△AEC是等边三角形,
∴AE=CE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,
∵BE=BE,
∴△AEB≌△CEB(SSS).
∴∠AEB=∠CEB,
∵AE=CE,
∴BE⊥AC;
(2)∵△AEC是等边三角形,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754261-1631.jpg)
∴∠EAC=∠AEC=60°,
∵BE⊥AC,
∴∠BEA=
1 |
2 |
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=45°,
∴∠BAE=15°,
∴∠EBF=45°,
∵EF⊥BF,
∴∠F=90°,
∴∠EBF=∠BAC,∠F=∠ABC,
∴△BEF∽△ACB,
延长EB交AC于G,设AC为2a,则BG=a,EB=
3 |
∴相似比是:
BE |
AC |
| ||
2a |
(
| ||
2a |
| ||
2 |
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