设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P（X=0）=P（X=1）=12．记FZ（z）为随机变量Z=XY的分布函数，求Z的分布函数FZ（z）并讨论间断点的个数．

Question

设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P（X=0）=P（X=1）=(1)/(2)．记F_Z（z）为随机变量Z=XY的分布函数，求Z的分布函数F_Z（z）并讨论间断点的个数．

Answer 1

由于∀z∈R，F_Z（z）=P（Z≤z）=P（XY≤z）
而X，Y是定义于同一个样本空间之上的随机变数
设S=（Y=0）+（Y=1），则利用全概率公式，得
F_Z（z）=P（Y=0）P（XY≤z|Y=0）+P（Y=1）P（XY≤z|Y=1）
=(1)/(2)P(0≤z|Y＝0)+(1)/(2)P（X≤z|Y=1）
=(1)/(2)P(0≤z)+(1)/(2)P(X≤z)（利用0与Y独立，X与Y独立）

＝

(1)/(2)×1+(1)/(2)×Φ(z)，z≥0

(1)/(2)×0+(1)/(2)×Φ(z)，z＜0

＝

(1)/(2)+(1)/(2)Φ(z)，z≥0

(1)/(2)Φ(z)，z＜0

∴F_Z（z）有一个间断点（z=0）
（∵

lim

z→0+

FZ(z)＝(1)/(2)+(1)/(2)Φ(0)＝(3)/(4)≠

lim

z→0−

(1)/(2)Φ(z)＝(1)/(4)）