设总体X服从正态分布N（μ，σ2）（σ>0），从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n（n≥2），其样本均值为.X=12n2ni=1Xi，求统计量Y=ni=1(Xi+Xn+i-2.X)2的数学期望E（Y）．

Question

设总体X服从正态分布N（μ，σ²）（σ>0），从该总体中抽取简单随机样本X₁，X₂，…，X_2n（n≥2），其样本均值为

.

X

=(1)/(2n)

2n

i=1

Xi，求统计量Y=

n

i=1

(Xi+Xn+i-2

.

X

)2的数学期望E（Y）．

Answer 1

因为X₁，X₂，…，X_2n是正态分布N（μ，σ²）的一个简单随机样本，
故由期望与方差的性质可得，
E（X_i+X_n+i）=2μ，D（X_i+X_n+i）=2σ²．
从而，随机变量（X₁+X_n+1），（X₂+X_n+2），…，（X_n+X_2n）相互独立，且均服从正态分布N（2μ，2σ²）．
因此可以将其看作是取自总体N（2μ，2σ²）的一个容量为n的简单随机样本，
且其样本均值为：(1)/(n)

n

i=1

(Xi+Xn+i)=(1)/(n)

2n

i=1

Xi=2

.

X

，
样本方差为：(1)/(n-1)

n

i=1

(Xi+Xn+i-2

.

X

)2=(1)/(n-1)Y．
因样本方差是总体方差的无偏估计，故
E((1)/(n-1)Y)=2σ2，
即E（Y）=2（n-1）σ²．