解题过程设总体X服从正态分布N(a,1),X1,X2为其样本,记Y1=1/3X1+2/3X2,Y2=1/4X1+3/4X2,Y3=1/2X1+1/2X2.证明:Y1,Y2,Y3这三个估计量都是a的无偏估计量,并确定哪一个最有效.

Question

解题过程
设总体X服从正态分布N(a,1),X1,X2为其样本,记 Y1=1/3 X1+2/3 X2,Y2=1/4 X1+3/4 X2,Y3=1/2 X1+1/2 X2. 证明:Y1,Y2,Y3 这三个估计量都是a的无偏估计量,并确定哪一个最有效.

Answer 1

E(Y1)=E(1/3 X1+2/3 X2)=1/3E(X1)+2/3E(X1)=1/3a+2/3a=a
E(Y2)=E(1/4 X1+3/4 X2)=1/4E(X1)+3/4E(X1)=1/4a+3/4a=a
E(Y3)=E(1/2 X1+1/2 X2)=1/2E(X1)+1/2E(X1)=1/2a+1/2a=a
都是无偏估计
用D表方差
D(Y1)=D(1/3 X1+2/3 X2)=1/9D(X1)+4/9D(X1)=1/9+4/9=5/9
D(Y2)=D(1/4 X1+3/4 X2)=1/16D(X1)+9/16D(X1)=1/16+9/16=5/8
D(Y3)=D(1/2X1+1/2 X2)=1/4D(X1)+1/4D(X1)=1/4+1/4=1/2
Y3方差最小，最有效