设总体X服从正态分布N～（μ，σ2），其中参数μ已知，σ未知，X1，X2，…，X2n是来自总体X的容量为2n的简单随机样本，试问σ=12nπ22ni＝1|Xi-μ|是σ的无偏估计量吗？

Question

设总体X服从正态分布N～（μ，σ²），其中参数μ已知，σ未知，X₁，X₂，…，X_2n是来自总体X的容量为2n的简单随机样本，试问

σ

=(1)/(2n)√((π)/(2))

2n

i＝1

|X_i-μ|是σ的无偏估计量吗？

Answer 1

令Y=X-μ，则Y～（0，σ²），其概率密度为f(y)＝(1)/(√(2π)σ)e−(y2)/(2σ2)，-∞＜y＜+∞，
σ＞0|Y|=|X-μ|的数学期望为：
E(|Y|)＝E(|X−μ|)＝

∫

+∞ −∞

|y|(1)/(√(2π)σ)e−(y2)/(2σ2)dy＝2

∫

+∞ 0

|y|(1)/(√(2π)σ)e−(y2)/(2σ2)dy＝√((2)/(π))σ
于是：
E(

σ

)＝E[(1)/(2n)√((π)/(2))

2n

i＝1

|Xi−μ|]＝(1)/(2n)√((π)/(2))E(

2n

i＝1

|Xi−μ|)＝(2n)/(2n)√((π)/(2))√((2)/(π))σ＝σ
所以

σ

是σ的无偏估计量．