勾股定理直角三角形

Question

勾股定理
直角三角形

Answer 1

勾股定理（毕氏定理,商高定理）
　　勾股定理∶在直角三角形中,两直角边的平方 和等於斜边的平方.
　　勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个 定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所 研究,希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾对本定理有所研究,故西方国家均 称此定理为毕达哥拉斯定理,据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理,当他在公元前550前年左右发现这 个定理时,宰杀了百头牛羊以谢神的默示.但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传.著名的希 腊数学家欧几里得（前330-前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷,命题47）中给出一个很好的证明 （如图1）：分别以直角三角形的直角边AB,AC及斜边BC向外作正方形,ABFH,AGKC及BCED,连FC,BK,作AL⊥DE.则欧几里得通过△BCF及△BCK为媒介.证明了正方形ABFH与矩形BDLM及正方形ACKG与 矩形MLEC等积,於是推得AB2+AC2=BC2.有兴趣的读者可参以下之网址∶
图1
　　在我国,这个定理的叙述最早见於《周髀算经 》（大约成书於公元前一世纪前的西汉时期）,书中有一段商高（约前1120）答周公问中有「勾广三 ,股修四,经隅五」的话,意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5.书中还记载了陈子（ 前716）答荣方问∶「若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之、得邪至 日」,古汉语中邪作斜解,因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容.至三国的赵爽（约3世纪）,在他的数学文献《勾股圆方图》中（作为《周髀算经》的注文,而被保留於该书之中）.运用弦图,巧妙的证明了勾股定理,如图2.他把三角形涂成红色,其面积叫「朱实」,中间正方形涂成黄色叫 做「中黄实」,也叫「差实」.他写道∶「按弦图,又可勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股 之差相乘为中黄实,加差实,亦称弦实」.若用现在的符号,分别用a、b、c记勾、股、弦之长,赵 爽所述即
2ab+(a-b)2=c2,
化简之得a2+b2=c2.
图2
　　12世纪印度的婆什迦罗（1114-1185）的书中 也有一个类似的图,和弦图不同的是没有外边的正方形,也没有其它说明,只在旁边写著「请看!」 二字.
　　由於勾股定理的简单明白而且重要,从而二千 多年来引起了中外许多人士的兴趣,可称为世上证法最多的定理.若对勾股定理各种不同证明感到兴 趣,可参考
Lommis,E.S.(1968).The Pythagorean Proposition:It's Demonstrations Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of "Proofs".Washington,D.C.:National Council of Teachers of Mathematics