已知样本X1,X2,X3,···,Xn的方差为3,则样本2X1+3,2X2+3,2X3+3,```,2Xn+3的方差是多少?

Question

已知样本X1,X2,X3,···,Xn的方差为3,则样本2X1+3,2X2+3,2X3+3,```,2Xn+3的方差是多少?

Answer 1

Xn的方差记为 D（X）
（1）设c是常数,则D(c)=0.
（2）设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=(c^2)D(X).
（3）设 X 与 Y 是两个随机变量,则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 特别的,当X,Y是两个相互独立的随机变量,上式中右边第三项为0（常见协方差）,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即P{X=c}=1,其中E(X)=c.
则你要求的就是 D（2X+3）= 4 D(X) =12
初中水平的话就是这样
记均值为 a ,则
(X1-a)^2 + (X2-a)^2 + (X3-a)^2+···+(Xn-a)^2 = 3
新样本的均值为:
[(2X1+3) + (2X2+3) + (2X3+3)+```+(2Xn+3)]/N
=2(X1+X2+X3+···+Xn)/N + 3
=2 a + 3
新样本的方差：
(2X1+3-2a-3)^2 + (2X2+3-2a-3)^2 + (2X3+3-2a-3)^2+···+(2Xn+3-2a-3)^2
= 4[(X1-a)^2 + (X2-a)^2 + (X3-a)^2+···+(Xn-a)^2 ]
= 4 * 3
= 12
(X2-a)^2 表示(X2-a)的2次方