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1与0交替排列,组成下面形式的一串数101,10101,1010101,101010101,…,请你回答:在这串数中有多少个质数?并证明你的结论.
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1与0交替排列,组成下面形式的一串数101,10101,1010101,101010101,…,请你回答:在这串数中有多少个质数?并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
显然101是质数,假设有n个1的数为An,首先A1是一个质数,
当n≥2时An均为合数,当n为偶数时,显然An能被101整除,
当n为奇数时,An×11=111…1(共2n个1),再将它乘以9得999…9(共2n个9),即102n-1,即An=
,
即An=
=[
]×[
],
设
=a,
=b,显然b是整数,
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除,
而10n+1的奇数位和为1,偶数位和也为1,所以能被11整除,
所以a也是一个不为1的整数,所以An不是质数,所以这串数中有101一个质数.
故答案为:1.
当n≥2时An均为合数,当n为偶数时,显然An能被101整除,
当n为奇数时,An×11=111…1(共2n个1),再将它乘以9得999…9(共2n个9),即102n-1,即An=
102n−1 |
99 |
即An=
(10n+1)(10n−1) |
99 |
(10n+1) |
11 |
10n−1 |
9 |
设
(10n+1) |
11 |
10n−1 |
9 |
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除,
而10n+1的奇数位和为1,偶数位和也为1,所以能被11整除,
所以a也是一个不为1的整数,所以An不是质数,所以这串数中有101一个质数.
故答案为:1.
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