设f(x)在[a,b]上n阶可导,且其n阶导数在[a,b]上恒大于0(或者恒小于0),那么是否有f(x)在[a,b]上的零点最多不超过n个?若成立,

Question

设f(x)在[a,b]上n阶可导,且其n阶导数在[a,b]上恒大于0(或者恒小于0),那么是否有f(x)在[a,b]上的零点最多不超过n个?
若成立,

Answer 1

若有n+1个零点
则f(x1)=f(x2)=...f(xn+1)=0
由罗尔定理
至少有n个点的一阶导数为0
至少有n-1个点二阶导数为0
.
至少有1个点n阶导数为0
这与n阶导数在[a,b]上恒大于0(或者恒小于0),矛盾
所以假设不成立.