有一个不定积分公式这样的∫a^x＝a^x/lna,既然lna是常数,为什么不表示成k的形式,要表示对数形式

Question

有一个不定积分公式这样的 ∫a^x＝ a^x/lna ,既然lna是常数,为什么不表示成k 的形式,要表示对数形式

Answer 1

不定积分中,乘除的常数是无法分开的,只有加减才可以,所以不能摆放到常数项中
按你这么说的话
那∫ 3 dx = 3x + C,是不是也该表示为Kx + C?
既然那个常数是已知的,有助令结果更加简化,没必要把它当成未知数
∫ a^x dx = a^xlna + C,若表示为a^x/K + C,本来只有一个未知数,现在变成有两个未知数要解出,岂不是搬石头砸了自己的脚?
加减中的常数可以合并,看以下例子：
例如∫ sinxcosx dx
= ∫ sinx dsinx
= (1/2)sin²x + C₁
但∫ sinxcosx dx
= - ∫ cosx d(cosx)
= (- 1/2)cos²x + C₂
又∫ sinxcosx dx
= (1/2)∫ sin(2x) dx
= (- 1/4)cos(2x) + C₃
而(1/2)sin²x + C₁ = (1/2)(1 - cos²x) + C₁ = (- 1/2)cos²x + (C₁ + 1/2)
即C₂ = C₁ + 1/2,为啥要把C₁ + 1/2变成C₂呢?
因为在计算时C₁ + 1/2比较麻烦,倒不如直接计算一个C₂较快捷.
又(- 1/4)cos(2x) + C₃ = (- 1/4)(1 - 2sin²x) + C₃ = (1/2)sin²x + C₂ - 1/4)
即C₁ = C₃ - 1/4
但是如果你将(1/2)sin²x + C₁中的1/2也当K的话
那么在计算过程也要腾出一步,去求K的值,这是没必要的.
因为K和C₁不能合并,这样无助令计算更快捷.