关于对乘积的积分的理解和转化既然有乘积后微分的公式(f*g)'=f'*g+f*g'由此,对乘积的微分可理解为,用f对g的斜率进行增益后的值,加上用g对f的斜率进行增益后的值.那么是否有乘积后积分的公

Question

关于对乘积的积分的理解和转化
既然有乘积后微分的公式(f*g)'=f'*g+f*g'
由此,对乘积的微分可理解为,用f对g的斜率进行增益后的值,加上用g对f的斜率进行增益后的值.
那么是否有乘积后积分的公式,以便于理解对乘积积分的含义呢?如果没有,请说出自己的理解.
在三角函数的傅立叶展开中,正/余弦分量分别为原三角函数与正/余弦的乘积[x(t)*cos(n*ω0*t)或x(t)*sin(n*ω0*t)]再积分,再除以周期.
我目前的理解为,当x(t)分别与不同n的正/余弦相乘再积分再除以周期后,所反映的是x(t)与此时周期为2π/(n*ω0)的正/余弦的相关程度.自相关和互相关的公式都不是这个形式.
为了能够深入理解它们,所以提此问题.

Answer 1

第一个问题,没有.
如果有的话,sinx/x的积分早就得到初等函数表达式了,何必再弄出个什么Si(x)作为积分的代表出来.
第二个问题,我的理解是,这可以理解为两个变量的联合概率.
例如,f和g在[a,b]上可积,那么令f~=f/(f从a到b的积分),=g/(g从a到b的积分)（只不过是归一化,这样f~和g~从a到b积分就等于1了）,那么f和g成为[a,b]上的概率分布函数,乘积的积分就成为了联合概率.
当然,从a到b的积分即使不是1也是正常的,因为两个分布不一定独立啊.
学过卷积吗?卷积就是乘积积分的一个典型例子.
例如,变量X的分布函数是f,Y的分布函数是g,X、Y独立的话,则X+Y的分布函数可以这样算：
P(X+Y