怎么用积分方法证明圆面积公式?可以给出如何换元,而且不要用单位圆为例的方法吗?

Question

怎么用积分方法证明圆面积公式?
可以给出如何换元,而且不要用单位圆为例的方法吗?

Answer 1

以单位圆为例,积第一象限,用换元法:
∫(1-x^2)^(1/2)*dx
=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)
=∫cost*cost*dt
=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)
=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)
=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)
=0.25π
算四个象限就变成π,即单位圆的面积.