(n-1)……(n-k+1)能被k!整除吗k为素数

Question

(n-1)……(n-k+1)能被k!整除吗
k为素数

Answer 1

(n-1)……(n-k+1)能被k!整除吗
首先,假定n>=k.且k为素数.此时
n(n-1)……(n-k+1) /k!
是从n个相异元素中取出k个的组合数C(n,k),无疑,它是整数.证明不难,数论教程中一般都有.
我们再来讨论原题,亦即 (n-1)……(n-k+1) /k!是否为整数.
若n为k的倍数,由wilson定理,(n-1)……(n-k+1) ==(-1)^(k-1)*(k-1)!==(-1)^k mod k,此时不能被k整除.
否则,n不是k的倍数,即n与素数k互质 而 n(n-1)……(n-k+1) ==0 mod k!,故 (n-1)……(n-k+1) ==0 mod k!,即(n-1)……(n-k+1)能被k!整除
其它情况下,取决于n是否为k的倍数,与上述类似.当然与要证明,可以认为有某种平移性.略.
当k非素数时,待分析.暂打住.
综上,当k为素数,n不是k的倍数时,(n-1)……(n-k+1)能被k!整除;
k为素数,n是k的倍数时,(n-1)……(n-k+1)除以k!,余数为等效于 (-1)^k.
其他,待分析.