今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣

Question

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

高一年级	高二年级	高三年级
10人	6人	4人

（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)＝(C110C210)/(C320)＝(15)/(38)
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为(15)/(38)．…（4分）
（II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为(1)/(3)．所以  …（6分）P(ξ＝0)＝

C

0 4

((1)/(3))0((2)/(3))4＝(16)/(81)；       P(ξ＝1)＝

C

1 4

((1)/(3))1((2)/(3))3＝(32)/(81)；P(ξ＝2)＝

C

2 4

((1)/(3))2((2)/(3))2＝(24)/(81)＝(8)/(27)；P(ξ＝3)＝

C

3 4

((1)/(3))3((2)/(3))1＝(8)/(81)；
P(ξ＝4)＝

C

4 4

((1)/(3))4((2)/(3))0＝(1)/(81)．…（11分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	(16)/(81)	(32)/(81)	(8)/(27)	(8)/(81)	(1)/(81)

…（12分）
所以Eξ＝0×(16)/(81)+1×(32)/(81)+2×(24)/(81)+3×(8)/(81)+4×(1)/(81)＝(4)/(3)…（13分）
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为(1)/(3)．…（5分）
则随机变量ξ服从参数为4，(1)/(3)的二项分布，即ξ～B(4，(1)/(3))．…（7分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	(16)/(81)	(32)/(81)	(8)/(27)	(8)/(81)	(1)/(81)

所以Eξ＝np＝4×(1)/(3)＝(4)/(3)…（13分）