：同济大学第六版高等数学中证明积分上限函数的导数时,只是说到,左边的极限存在并等于右边的f(x),这个应该存在似乎太不严格,谁能给予充分说明?感觉书上的整个证明过程就是用定义法来

Question

：同济大学第六版高等数学中证明积分上限函数的导数时,只是说到,左边的极限存在并等于右边的f(x),这个应该存在似乎太不严格,谁能给予充分说明?
感觉书上的整个证明过程就是用定义法来证明的：即在不知道积分上限函数是否可导、导数是什么这个前提下，用导数的定义来证明。
否则的话，在应用了定积分中值定理得到∆θ/∆x=f(x)后，书中有一句话：左端的极限也应该存在并且等于f(x)，这句话的意思已经预设了左端的积分上限函数的导数存在！所以书上用了“应该存在”的说法。右端的极限存在并且等于f(x)是显而易见的，如果整个证明过程是用导数的定义来证明积分上限函数是否存在导数、导数是什么，那么“应该存在”这句话就不存在是否严格的问题。

Answer 1

你可以用定义直接验证
在假定被积函数f(x)是连续的情况下,变上限积分后的函数是F(x)
则F(X+Y)-F(X)=f(x)从X积到X+Y
用积分中值定理估计此积分等于f(z)*Y 其中z介于X与X+Y间
然后令Y趋于0,则z趋于X,f(z)趋于f(x),把Y除到左边去就得到结果