高等数学题、、、某车间要用钢板制作一个容积为4立方米的无盖长方体水箱,若不计钢板的厚度,问长、宽、高各为多少时,用料最省?

Question

高等数学题、、、
某车间要用钢板制作一个容积为4立方米的无盖长方体水箱,若不计钢板的厚度,问长、宽、高各为多少时,用料最省?

Answer 1

设长宽高分别为x,y,z
容积为4,那么xyz=4
那么无盖的长方体水箱的表面积S(x,y,z)=xy+2xz+2yz
要求求约束条件下的S(x,y,z)的最小值,用拉格朗日乘法
令L(x,y,z,t)=xy+2xz+2yz+t(4-xyz)
dL/dx=y+2z-tyz=0
dL/dy=x+2z-txz=0
dL/dz=2x+2y-txy=0
dL/dt=4-xyz=0
解得：x=2,y=2,z=1,t=2
而由实际情形来看是可以取得最小值的
那么最小值是S(x,y,z)=S(2,2,1)=12 平方米