高等代数设a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),b1=(2,-1,0,1)b2=(1,-1,3,7)设a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),b1=(2,-1,0,1)b2=(1,-1,3,7)dim(V1+V2),V1=L(a1,a2),V2=L(b1,b2),则dim(V1+V2)=?dim(V1交V2)=?

Question

高等代数 设a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),b1=(2,-1,0,1) b2=(1,-1,3,7)
设a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),b1=(2,-1,0,1) b2=(1,-1,3,7) dim(V1+V2),V1=L(a1,a2),
V2=L(b1,b2),则 dim(V1+V2)=?dim(V1交V2)=?

Answer 1

dim(V1+V2)＝L(a1 a2 b1 b2),而
(a1 a2 b1 b2)
＝1 －1 2 1
2 1 －1 －1
1 1 0 3
0 1 1 7 r2－2r1,r3－r1
－> 1 －1 2 1
0 3 －5 －3
0 2 －2 2
0 1 1 7 r4r2 r4－3r2,r3－2r2
－> 1 －1 2 1
0 1 1 7
0 0 －4 －12
0 0 －8 －24 r4－2r3,r3/(－4)
－> 1 －1 2 1
0 1 1 7
0 0 1 3
0 0 0 0
因此dim(V1+V2)＝3.
设x1a1+x2＝(－y1)b1+(－y2)b2,即x1a1+x2a2+y1b1+y2b2=0,
此齐次线性方程,系数矩阵就是上面的(a1 a2 b1 b2),因此
上面的做法可以用,于是知道基础解系的秩为1,即dim(V1交V2)＝1.
也可以用公式dim(V1+V2)+dim(V1交V2)＝dim(V1)+dim(V2)＝2+2＝4,
因此dim(V1交V2)=4－dim(V1+V2)=1.