改错题：若二次函数f(x)的图像过原点,f(-1):[1,2]f(1):[3,4]求f(-2)范围因为过原点,f(x)=ax2+bx(a0)f(-1)=a-bf(a)=a+ba-b:[1,2]……(1)a+b:[3,4]……(2)由[(1)+(2)]/2得a:[2,3][(1)-(2)]/2得b:[0.5,1.5]又f(-2)=4a-2b得f(-2):[

Question

改错题：
若二次函数f(x)的图像过原点,f(-1):[1,2] f(1):[3,4] 求f(-2)范围
因为过原点,f(x)=ax2+bx(a0)
f(-1)=a-b f(a)=a+b
a-b:[1,2] ……(1)
a+b:[3,4] ……(2)
由[(1)+(2)]/2 得a:[2,3]
[(1)-(2)]/2 得b:[0.5,1.5]
又f(-2)=4a-2b 得f(-2):[5,11]
正确答案是【6,10】
请高手指出,到底是哪一步出现了问题?

Answer 1

这道题中的解法中有一步是:
由[(1)+(2)]/2 得a:[2,3]
[(1)-(2)]/2 得b:[0.5,1.5]
你在这一步中,分别求出了a、b的取值范围,而后相加得到了f(-2)的取值范围,这就扩大了f(-2)的取值范围.因为a、b的值并不是孤立的,而是通过a+b和a-b的值相互制约的,当f(1)取最大值时,f(-1)可能不能相应的也取到最大值.
【其实,这个问题在人教版高中数学课本的必修5中提到过,在必修5里有一篇阅读与思考叫《错在哪儿》,这篇文章就详细的讨论了这个问题,小弟觉得您可以看以看看】
这道题小弟认为可以这样
∵二次函数f(x)的图像过原点
∴f(x)=ax²+bx
则f(1)=a+b,f(-1)=a-b
设f(-2)=mf(1)+nf(-1)
即4a-2b=ma+mb+na-nb=(m+n)a+(m-n)b
对比系数,得方程组
m+n=4,m-n=-2
∴m=1,n=3
∴f(-2)=f(1)+3f(-1).
∵f(-1)∈[1,2] f(1)∈[3,4]
两式相加,得
f(1)+3f(-1)∈[3+3×1,4+3×2]
即f(-2)∈[6,10].