在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知cos1/2C=根号5/3高三数学!在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知cos1/2C=根号5/3若acosB+bcosA=2,求△ABC面积的最大值.

Question

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知cos1/2C=根号5/3【高三数学!】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知cos1/2C=根号5/3
若acosB+bcosA=2,求△ABC面积的最大值.

Answer 1

已知cos(C/2)=√5/3
cosC=2[cos(C/2)]²-1=2*5/9-1=1/9
sinC=√(1-cos²C)=4√5/9
由余弦定理acosB+bcosA=a*(a²+c²-b²)/2ac+b(b²+c²-a²)/2bc=c
所以c=2
再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC
即4=a²+b²-(2/9)ab≥2ab-(2/9)ab=(16/9)ab
所以ab≤9/4
三角形ABC面积S=(1/2)absinC=(2√5/9)ab≤(2√5/9)*(9/4)=√5/2
故三角形ABC面积的最大值为√5/2
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