高三数学题求和数列{xn}满足x1=1/2,x(k+1)=xk^2+xk,则1/(x1+1)+1/(x2+2)+...+1/(x2007+1)的整数部分是.

Question

高三数学题 求和
数列{xn}满足x1=1/2,x(k+1)=xk^2+xk,则1/(x1+1)+1/(x2+2)+...+1/(x2007+1)的整数部分是_______.

Answer 1

估计你打错了,是求1/(x1+1)+1/(x2+1)+...+1/(x2007+1)吧.
如果这样的话：
因为x(k+1)=xk^2+xk,两边取倒数：1/x(k+1)=1/（xk^2+xk）,所以1/x(k+1)=1/xk*（xk+1）,裂项,1/x(k+1)=1/xk-1/（xk+1）,移项得1/（xk+1）=1/xk-1/x(k+1).
所以1/(x1+1)+1/(x2+1)+...+1/(x2007+1)=1/x1-1/x2+1/x2-1/x3+...+1/x2007-1/x2008=1/x1-1/x2008=2-
因为x(k+1)-xk=xk^2≥0,所以递增
计算得x2=3/4,x3=21/16大于1,所以以后每项都大于x3,都大于1
所以x2008大于1,1/x2008小于1但大于0
所以整数部分为1