当x趋于0时,[((2+cosx)/3)^x-1]/x^3的极限详细的步骤,大一初学

Question

当x趋于0时,[((2+cosx)/3)^x-1]/x^3的极限
详细的步骤,大一初学

Answer 1

　　利用等价无穷小
　　　(e^x)-1 ~ x,ln(1+x) ~ x,1-cosx ~ (x^2)/2 (x→0),
可得
　　　lim(x→0){[(2+cosx)/3]^x-1}/x^3
　　= lim(x→0){e^{xln[(2+cosx)/3]}-1}/x^3
　　= lim(x→0){xln[(2+cosx)/3]}/x^3
　　= lim(x→0){ln[(2+cosx)/3]}/x^2
　　= lim(x→0){ln[1+(cosx-1)/3]}/x^2
　　= lim(x→0)[(cosx-1)/3]/x^2
　　= (-1/3)lim(x→0)[(1-cosx)/(x^2)]
　　= (-1/3)*(1/2)
　　= -1/6.