帮忙做道微积分题吧...大一的...设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)其中a>0为常数中值定理那一章的东西..

Question

帮忙做道微积分题吧...大一的...
设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得
f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)
其中a>0 为常数
中值定理那一章的东西..

Answer 1

你好!
令g(x)=ln(1+x)
g(x)在[0,a]连续,(0,a)可导
g'(x) = 1/(1+x)
由柯西中值定理
存在m∈(0,a)使
[f(a) - f(0)] / [g(a)-g(0)] = f'(m) / g'(m)
f(a) / ln(1+a) = (1+m)f'(m)
即f(a) = (1+m)f'(m)ln(1+a)
证毕