已知线性方程组AX=kβ1+β2有解，其中A=11−1−1−211−1−1，β1=213，β2=13−1，则k等于（）A．1B．-1C．2D．-2

Question

已知线性方程组AX=kβ₁+β₂有解，其中A=

1	1	−1
−1	−2	1
1	−1	−1

，β₁=

2

1

3

，β₂=

1

3

−1

，则k等于（　　）

A．1
B．-1
C．2
D．-2

Answer 1

因为已知线性方程组AX=kβ₁+β₂，
将AX=kβ₁+β₂的增广矩阵作初等行变换，
[A|kβ1+β2]＝

1	1	−1
−1	−2	1
1	−1	−1

.	2k+1 k+3 3k−1

]→

1	1	−1
0	−1	0
0	−2	0

.	2k+1 3k+4 k−2

]→

1	1	−1
0	−1	0
0	0	0

.	2k+1 3k+4 −5k−10

]，
AX=kβ₁+β₂有解⇔r（A）=r（A|kβ₁+β₂），
得k=-2，
故选：D．