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在淘宝网上,某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y(单位:�
在淘宝网上,某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤5)满足:当1<x≤3时,y=a(x-3)2+
,(a,b为常数);当3<x≤5时,y=-70x+490.已知当销售价格为2元/千克时,每日可售出该特产700千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该特产的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克).
在淘宝网上,某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1<x≤5)满足:当1<x≤3时,y=a(x-3)2+
b |
x?1 |
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该特产的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克).
▼优质解答
答案和解析
(1)因为x=2时,y=700;x=3时,y=150,所以
,解得a=400,b=300
∴每日的销售量y=
;…4'
(2)由(1)知,当1<x≤3时,每日销售利润f(x)=[400(x?3)2+
](x?1)=400(x-3)2(x-1)+300=400(x3-7x2+15x-9)+300(1<x≤3)
∴f'(x)=400(3x2-14x+15),∴当x=
,或x=3时,f'(x)=0
当x∈(1,
)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(
,3)时f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴x=
是函数f(x)在(1,3]上的唯一极大值点,f(
)=400×
+300>700;…8'
当3<x≤5时,每日销售利润f(x)=(-70x+490)(x-1)=-70(x2-8x+7)
∴f(x)在x=4有最大值,且f(4)=630<f(
)…11'
综上,销售价格x=
≈1.67元/千克时,每日利润最大…12
|
∴每日的销售量y=
|
(2)由(1)知,当1<x≤3时,每日销售利润f(x)=[400(x?3)2+
300 |
x?1 |
∴f'(x)=400(3x2-14x+15),∴当x=
5 |
3 |
当x∈(1,
5 |
3 |
5 |
3 |
∴x=
5 |
3 |
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3 |
32 |
27 |
当3<x≤5时,每日销售利润f(x)=(-70x+490)(x-1)=-70(x2-8x+7)
∴f(x)在x=4有最大值,且f(4)=630<f(
5 |
3 |
综上,销售价格x=
5 |
3 |
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