利用数学归纳法,证明对于所有正整数n,4n^3-n能被3整除.

Question

利用数学归纳法,证明对于所有正整数n,4n^3-n能被3整除.

Answer 1

4n^3-n=n(2n-1)(2n+1)
现在用完全归纳法证明：
正整数不外乎这么三类
1,3的倍数.可以表示为n=3m（m为正整数）
4n^3-n=n(2n-1)(2n+1)=3m(2n-1)(2n+1) 因为有因数3,所以能被3整除
2,3的倍数多1 .可以表示为n=3m+1（m为正整数）
4n^3-n=n(2n-1)(2n+1)=n(2n-1)(6m+2+1）=n(2n-1)(6m+3）=3n(2n-1)(2m+1） 也有因数3,也能被 3整除
3,3的倍数多2 .可以表示为n=3m+2（m为正整数）
4n^3-n=n(2n-1)(2n+1)=n(6m+4-1)(2n+1）=n(6m+3)(2n+1）=3n(2m+1)(2n+1） 也有因数3,也能被 3整除
因此对于所有正整数n,4n^3-n能被3整除.
（注意：这和你们的两步归纳法不一样,但这也是数学归纳法,叫做完全归纳法）