证明(a^n+b^n)/2>=((a+b)/2)^n其中a>0,b>0,n是一个正整数.我只会数学归纳法

Question

证明(a^n+b^n)/2>=((a+b)/2)^n其中a>0,b>0,n是一个正整数.我只会数学归纳法

Answer 1

方法一：构造函数证明(x^n+1^n)/2-((x+1)/2)^n>=0,x>0
方法二：利用柯西不等式的二元高次推广
（1+1）（1+1）（1+1）……（1+1）（a^n+b^n）>=（a+b）^n
从而2^（n-1）（a^n+b^n）>=（a+b）^n
也就是（a^n+b^n）/2>=（a+b）^n /2^n=（（a+b）/2）^n）
从而(a^n+b^n)/2>=((a+b)/2)^n
方法三：设a=（x+y）/2
b=（x-y）/2
那么x>y>=0
等价于证明（（x+y）/2）^n +（（x-y）/2）^n>=2*x^n
根据二项式定理展开,显然成立,当且仅当y=0的时候成立