用数学归纳法证明下列题目1.)10^n+3*4^(n+2)+5能被9整除2.)4*6^n+5^(n+2)被20除余数必为9

Question

用数学归纳法证明下列题目
1.)10^n+3*4^(n+2)+5能被9整除
2.)4*6^n+5^(n+2)被20除余数必为9

Answer 1

1）证明：若n=1,原式=10+192+5=207能被9整除,成立
假设当n=k（k≥2）时成立,则设10^k+3×4^(k+2)+5=9m（m∈N*）,有5=9m-10^k-3×4^(k+2)
则当n=k+1时,原式=10×10^k+12×4^(k+2)+5
=10×10^k+12×4^(k+2)+【9m-10^k-3×4^(k+2)】
=9m+9×10^k+9×4^(k+2)
=9【m+10^k+4^(k+2)】能被9整除
所以原式恒能被9整除
2）【本方法只是在证明过程中又需要证明一个数学归纳的结论,思想都是一样的】
证明：若n=1,则原式=24+125=149被20除余数为9,成立
假设当n=k（k≥2）时成立,则设4×6^k+5^(k+2)=20m+9（m∈N）
则当n=k+1时,原式=24×6^k+5×5^(k+2)
=5【4×6^k+5^(k+2)】+4×6^k
=100m+45+4×2^k×3^k
=20×5m+36【1+2^k×3^(k-2)】+9
所以接下来要证明括号里的1+2^k×3^(k-2)（k≥2）是5的倍数即可
当k=2时,原式=5成立
设当k=p（p≥3）成立,则设1+2^p×3^(p-2)=5q（q∈N*）,有1=5q-2^p×3^(p-2)
则当k=p+1时,原式=1+2×2^p×3×3^(p-2)
=【5q-2^p×3^(p-2)】+6×2^p×3^(p-2)
=5【q+2^p×3^(p-2)】能被5整除
所以1+2^k×3^(k-2)恒能被5整除,设1+2^k×3^(k-2)=5x（x∈N*）
回到原题：
当n=k+1时,原式=20×5m+36【1+2^k×3^(k-2)】+9
=20×5m+36×5x+9 =20(5m+9x)+9被20除余9,成立
所以原式恒成立