求值域时能不能归纳一下什么时候可采用判别式法

Question

求值域时能不能归纳一下什么时候可采用判别式法

Answer 1

对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,
把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,求y的取值范围”把x当成未知量,y当成常量,化成一元二次方程,让这个方程有根．先看二次项系数是否为零,再看不为零时只需看判别式大于等于零了．
此时直接用判别式法是否有可能出问题,关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形.
这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0,求y的取值范围”
这种方法不好有很多局限情况,如：定义域是一个区间的．定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用．过程用上面的就可以了