高中复合函数知识点有哪些.可不可以总结一下.总觉得那块不会,.

Question

高中复合函数知识点有哪些.
可不可以总结一下 .
总觉得那块不会 ,.

Answer 1

定义
　　设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时,μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系,记为 　　y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数,其中x称为自变量,μ为中间变量,y为因变量(即函数)
生成条件
　　不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时,二者才可以构成一个复合函数.
编辑本段定义域
　　若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的值域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 　　 复合函数的导数
D={x|x∈A,且g(x)∈B}
周期性
　　设y=f(u),的最小正周期为T1,μ=φ(x）的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段增减性
　　 复合函数单调性
依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定.即“增增得增,减减得增,增减得减”,可以简化为“同增异减” 　　判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域； 　　(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； 　　(3)判断每个常见函数的单调性； 　　(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； 　　(5)求出复合函数的单调性. 　　例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性. 复合函数的导数
函数定义域为R. 　　令u=x^2-4x+3,y=0.8^u. 　　指数函数y=0.8^u在(-∞,+∞)上是减函数, 　　u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, 　　∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数. 　　利用复合函数求参数取值范围 　　求参数的取值范围是一类重要问题,解题关键是建立关于这个参数的不等式组,必须 　　将已知的所有条件加以转化.
复合函数的相关问题
一、定义
对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A,如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空,即C∩B≠φ,那么就说y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A可以复合,称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数,其中y=f(u)叫做外函数,u=g(x)叫做内函数.
比如, (x∈R)的复合函数是
.
∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0},∴二者可以复合,但定义域发生了变化,复合后的函数的定义域既不是u≥0,也不是x∈R,而是x=0.也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）.
由定义知道 就不能复合成f(g(x)).（为什么?）
二、复合函数的定义域
由复合函数的定义知道,复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域,从而制约x的取值范围,法则g制约x的取值范围.因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑.
常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域,求复合函数的定义域.
例1 已知f(x)的定义域为[－1,1],求f(2x－1)的定义域.
分析：法则f要求自变量在[－1,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1,1]内取值,即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域.
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x,即它们意义不同.）
∵f(x)的定义域为[－1,1],
∴－1≤2x－1≤1,解之0≤x≤1,
∴f(2x－1)的定义域为[0,1].
练习：已知已知f(x)的定义域为[－1,1],求f(x2)的定义域.
答案：－1≤x2≤1 x2≤1 －1≤x≤1
下面来思考两个问题：
思考1：已知f(x2)的定义域为[－1,1],能求f(x)的定义域么?
个人意见：不能.因为x2的定义域虽然为R,但其不单调,由x2求得的值域不一定是f(x)的定义域.
思考2：已知f(2x－1)的定义域为[0,1],能求f(x)的定义域么?
个人意见：能.因为2x－1是R上的单调递增函数,因此由2x－1 x∈[0,1]求得的值域[－1,1]是f(x)的定义域.
练习：已知f(3x－1)的定义域为[－1,2）,求f(2x+1)的定义域.
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
答案：x∈[－1,2) 3x－1∈[－4,5) 2x+1∈[－4,5) x∈[－ ,2).
三、法则——解析式
复合函数y=f(g(x))的法则既不是f,也不是g,法则的运算我们没有学过（法则也可以运算?可以.）那么复合函数y=f(g(x))的法则是什么?从映射的角度很好解释.设y=f(u) u∈B的值域为D,u=g(x) x∈A的值域为C,设B∩C=E（非空）,由之确定的函数y=f(g(x))的定义域为F,则有两个映射g：F→E；f：E→D,如图.









这样从集合F到集合D就建立了一个映射.这个映射就是复合函数y=f(g(x)),这里u充当中间变量.自变量x先被法则g作用,变成u,再经过法则f作用,变成y.复合函数y=f(g(x))的法则是g运算后再f运算.由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域（为什么?）
例3 已知f(x)=2x－1,g(x)=x2+1,求f(g(x))、g (f (x)) 、f(f (x))、g (g (x)).
f(g(x))=2g(x)－1=2(x2+1)－1=2 x2+1;
g (f (x))=f2(x)+1=(2x－1)2+1=4x2－4x+2;
f(f (x))=2f(x)－1=2(2x－1)－1=4x－3;
g (g (x))= g2(x)+1=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
注：复合后还可以再撮合,如f(g(f(g(x)))) 等等.
与反函数联系,还有一个有趣的地方：f(f－1(x))=x≠x= f－1 (f (x)).
试一下就知道了.
设f(x)= ,其反函数为 ,
∴ ,
.
一个x非负另一个x非正能相等么?原来f－1 (f (x))中的x是f (x)的定义域中的数,f(f－1(x))中的x是f (x)的值域中的数,二者意义不同,当然不等.
与反函数联系还有一些陷阱——小心.
例4 （1）已知f(x)过（2,4）,则f－1 (x+4)过点 .
（2）已知f(x)过（2,4）,则f (x+4)的反函数过点 .
（1）f(x)过（2,4） f－1 (x)过（4,2） f－1 (x+4)过点（0,2）；
（2）f(x)过（2,4） f (x+4)过（－2,4） f (x+4)的反函数过点（4,－2）.
解这类题要注意两点：（1）f－1 是一个整体,是一个法则,不能割裂,认为f－1 (x+4)是f (x+4)的反函数就把f－1割裂开了.
（2）f－1 (x+4)是f－1 (u),u=x+4复合而成,其反函数为y=f(x)－4；
f (x+4)是f (u),u=x+4复合而成,其反函数为y=f－1 (x)－4.
练习：1.已知 ,求f(x2),f(f(x)),f－1 (x2).
答案：f(x2)= ；f(f(x))= ；
f－1 (x)= ,于是f－1 (x2)= .
（注意：f－1 (x)的定义域为（－∞,－2）∪{－1}∪（0,+∞）,复合函数f－1 (x2)的定义域为{x|x≠0},另外,分段函数的复合函数一般是分段函数）.
2 已知f (x+4)过（4,2）,求f－1 (x+4)过点（ , ）.
答案：f (x+4)过（4,2） f(x)过点（8,2） f－1(x)过（2,8） f－1 (x+4)过（－2,8）.
四、复合函数的单调性
复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错.出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）.错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律,再强调定义域.一方面这个规律“同增异减”好记,另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调,造成学生跟着模仿,忽视了区间,更忽视了定义域.因此我们在以后的学习过程中,一定要记住严谨.在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间.
下面通过例题来说明解题步骤和规律.
例5已知f(x)= ,求f(x)的单调递增区间.
分析：显然f(x)的定义域为R,f(x)是由 及 复合而成.
当x≥1时, ,而 ,
∴ ；
当x≤1时, ,而 ,
∴ .
因此总结出规律：同增异减.
显然f(x)的定义域为R,设u=x2－2x,
∵2u在u∈R上单调递增,
∴欲求f(x)的单调递增区间,只须求u=x2－2x的单调递增区间.
而u=x2－2x在x≥1上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间是[1,+∞）.
例6 求g(x)= 的单调递增区间.
由2x－x2>0有00时的减区间.
而u=2x－x2在x≥1上单调递减,但u>0时0