请解答一道自然数奇偶性的奥数题黑板上写着1至2010,共2010个自然数,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数可能的最大值,最小值分别是

Question

请解答一道自然数奇偶性的奥数题
黑板上写着1至2010,共2010个自然数,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数可能的最大值,最小值分别是几?

Answer 1

一楼说的不对
假设1、2、3、4四个数,1、3平均为2,那么2、2平均还是2,最后2、4平均就是3,所以是可以只剩下一个数的.
1、2、3、4、5、6,则1、2、3、5——1、2、4——1、3——2
2、4、5、6——3、5、6——4、6——5
从这里我们可以估计出,最大值就是N-1,最小值是2.接下来就证明一下
1、2、3、4……a-1,a,a+1
由于算的是平均数,无论如何都只可能在2——a的范围内取值,那么我们就看看是否能取到这两个值,若可以,则毫无疑问这两个就是最值了.
首先看能否取到a,要取到a,自然要用a-1和a+1取平均数,也就是说要吧1……a变为一个a-1
依次类推,将1……a-1变为一个a-2
最终就是讲1……a-（a-3）变为一个a-（a-2）,也就是将1、2、3变成2,不用我说了吧.
同理也可推出最大值
所以最小值为2,最大值为2009