假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单

Question

假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：T=

−1    X＜10

20     10≤X≤12

−5     X＞12

，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

Answer 1

根据题意，平均利润：
E（T）=-1×p（X＜10）+20×p（10≤X≤12）-5×p（X＞12）
=-Φ（(10−μ)/(1)）+20[Φ（(12−μ)/(1)）-Φ（(10−μ)/(1)）]-5[1-Φ（(12−μ)/(1)）]
=25Φ（12-μ）-21Φ（10-μ）-5
(dE(T))/(dμ)=-25φ（12-μ）+21φ（10-μ）
=21(1)/(√(2π))e−((10−μ)2)/(2)-25(1)/(√(2π))e−((12−μ)2)/(2)
令：(dE(T))/(dμ)=0；
即：21(1)/(√(2π))e−((10−μ)2)/(2)-25(1)/(√(2π))e−((12−μ)2)/(2)=0
即：e−(1)/(2)[(12−μ)2−(10−μ)2]=(21)/(25)
两边取对数整理得：
2μ-22=ln（(21)/(25)）
即：μ=(1)/(2)ln(21)/(25)+11
显然当μ=(1)/(2)ln(21)/(25)+11取得极值，由因为μ=(1)/(2)ln(21)/(25)+11是唯一使导数等于0的点，根据实际问题可知：
当μ=(1)/(2)ln(21)/(25)+11时，利润取得最大值．